Question

數字1，2，3，4，5，6按如圖形式隨機排列，設第一行數為N₁，又N₂、N₃分別表示第二、三行中的最大數，則滿足N₁＜N₂＜N₃的所有排列的個數是

1. A.
   90
2. B.
   180
3. C.
   240
4. D.
   360

Answer 1

C
分析：由題設條件知N₃ 一定是6個數中最大的，由于第一行的數為N₁ ，第二、三行中的最大數分別為N₁ 、N₂ ，則滿足N₁＜N₂＜N₃
的所有排列可知6一定在第三行，下按N₂ 的取值情況分類計數即可．
解答：首先N₃ 一定是6個數中最大的，故 N₃ =6，且6在第三行，N₂ 一定是5，4，3中一個，
若N₂ 是2，則第二行另一個數只能是1，那么第一行的數就比2大，無法滿足 N₁＜N₂＜N₃ ，
當N₂ 是5，N₁ 可以是4，3，2，1，滿足條件的排列個數4×3×2×6=144個．
當N₂是4，N₁ 可以是3，2，1，此時5必須在第三行，滿足條件的排列個數3×6×2×2=72個．
當N₂是3，N₁ 可以是e，f，此時c必須在第三行，滿足條件的排列個數2×6×2×1=24個．
綜上，總的符合條件的排列的個數為24+72+144=240，
故答案為240．
點評：本題考查排列、組合的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，分析處符合題設條件的排列方式，由于本題涉及的條件較多，結構復雜，故采取分類計數的方式，由于分類時涉及到的因素較多，使得本題容易出錯，本題綜合性強，需要靈活運用所學的知識解題，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．