Question

甲乙兩隊進行某決賽，每次比賽一場，采用七局四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊獲勝，比賽就此結束，因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為而

1

2

，據以往資料統計，第一場比賽組織者可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元．
（I）若組織者在此次比賽中獲得的門票收入恰好為300萬元，問此次決賽共比賽了多少場？
（Ⅱ）求組織者在此次決賽中要獲得的門票收入不少于390萬元的概率為多少？

Answer 1

分析：（I）依題意每場比賽獲得的門票收入數組成首項為40，公差為10的等差數列，設此數列為{a_n}，根據a₁=40，a_n=10n+30，得到數列的前n項和，得到n的值．
（II）根據題意寫出不等式，得到要獲得的門票收入不少于390萬元，則至少要比賽6場，若比賽共進行了6場，則前5場比賽的比分必為2：3，且第6場比賽為領先一場的球隊獲勝，若比賽共進行了7場，則前6場勝負為3：3．

解答：解：（I）依題意，每場比賽獲得的門票收入數組成首項為40，公差為10的等差數列，
設此數列為{a_n}，則易知a₁=40，a_n=10n+30
∴Sn=

n(a1+an)

2

=

n(10n+70)

2

=300  解得n=5或n=-12(舍去)
∴此次決賽共比賽了5場．
（Ⅱ）由S_n≥390得n²+7n≥78，∴n≥6
∴若要獲得的門票收入不少于390萬元，則至少要比賽6場．
①若比賽共進行了6場，則前5場比賽的比分必為2：3，且第6場比賽為領先一場的
球隊獲勝，其概率P(6)=

C

3 5

×(

1

2

)5=

5

16

；
②若比賽共進行了7場，則前6場勝負為3：3，則概率P(7)=

C

3 6

×(

1

2

)6=

5

16

∴門票收入不少于390萬元的概率為P=P(6)+P(7)=

10

16

=

5

8

=0.625

點評：本題考查等差數列的前n項和，本題解題的關鍵是讀懂題目，理解題意，把實際問題轉化為數學問題．