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已知M是面積為1的△ABC內的一點，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值為（　　）
分析：由題意寫出x、y所滿足的關系式，然后用“1的代換”化簡，再用均值不等式求最值
解答：解：由題意知x＞0，y＞0，且x+y=
1
2

∴2x+2y=1
∴
1
x
+
4
y
=(
1
x
+
4
y
)×1=(
1
x
+
4
y
) ×(2x+2y)=10+
2y
x
+
8x
y

又x＞0，y＞0
∴
2y
x
＞0，
8x
y
＞0
∴
1
x
+
4
y
=10+
2y
x
+
8x
y
≥10+2
2y
x
×
8x
y
 =
10+8=18
當
x+y=
1
2
2y
x
=
8x
y
，即當
x=-
1
2
y=1
（舍） 或
x=
1
6
y=
1
3
時等號成立，取得最小值18
故選B
點評：本題考查均值不等式，要注意均值不等式的條件．屬簡單題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定義f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，則f（x，y，z）的最小值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）自圓O外一點P引切線與圓切于點A，M為PA中點，過M引割線交圓于B，C兩點．求證：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD的四個頂點A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經矩陣M=
10
k1
表示的變換作用后，四邊形ABCD變為四邊形A1B1C1D1，問：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積是否相等？試證明你的結論．
（3）已知A是曲線ρ=12sinθ上的動點，B是曲線ρ=12cos(θ-
π
6
)上的動點，試求AB的最大值．
（4）設p是△ABC內的一點，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，R是△ABC外接圓的半徑，證明
x
+
y
+
z
≤
1
2R
a2+b2+c2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知M是面積為1的△ABC內的一點，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為數學公式，x，y，則數學公式的最小值為


  1. A.
    20
  2. B.
    18
  3. C.
    16
  4. D.
    9

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年江西省宜春市高二（上）期末數學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知M是面積為1的△ABC內的一點，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為，x，y，則的最小值為（ ）
A．20
B．18
C．16
D．9

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