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已知M是面積為1的△ABC內的一點,若△MBC,△MCA,△MAB的面積分別為
1
2
,x,y,則
1
x
+
4
y
的最小值為(  )
分析:由題意寫出x、y所滿足的關系式,然后用“1的代換”化簡,再用均值不等式求最值
解答:解:由題意知x>0,y>0,且x+y=
1
2

∴2x+2y=1
1
x
+
4
y
=(
1
x
+
4
y
)×1=(
1
x
+
4
y
) ×(2x+2y)
=10+
2y
x
+
8x
y

又x>0,y>0
2y
x
>0,
8x
y
>0

1
x
+
4
y
=10+
2y
x
+
8x
y
≥10+2
2y
x
×
8x
y
 =
10+8=18

x+y=
1
2
2y
x
=
8x
y
,即當
x=-
1
2
y=1
(舍) 或
x=
1
6
y=
1
3
時等號成立,取得最小值18
故選B
點評:本題考查均值不等式,要注意均值不等式的條件.屬簡單題
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知M是△ABC內的一點(不含邊界),且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面積分別為x,y,z.
(1)x+y+z=
 

(2)定義f(x,y,z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
,則f(x,y,z)的最小值是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

(1)自圓O外一點P引切線與圓切于點A,M為PA中點,過M引割線交圓于B,C兩點.求證:∠MCP=∠MPB.
(2)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD的四個頂點A(0,1),B(2,1),C(2,3),D(0,2),經矩陣M=
10
k1
表示的變換作用后,四邊形ABCD變為四邊形A1B1C1D1,問:四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積是否相等?試證明你的結論.
(3)已知A是曲線ρ=12sinθ上的動點,B是曲線ρ=12cos(θ-
π
6
)
上的動點,試求AB的最大值.
(4)設p是△ABC內的一點,x,y,z是p到三邊a,b,c的距離,R是△ABC外接圓的半徑,證明
x
+
y
+
z
1
2R
a2+b2+c2

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科目:高中數學 來源: 題型:單選題

已知M是面積為1的△ABC內的一點,若△MBC,△MCA,△MAB的面積分別為數學公式,x,y,則數學公式的最小值為


  1. A.
    20
  2. B.
    18
  3. C.
    16
  4. D.
    9

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年江西省宜春市高二(上)期末數學試卷(解析版) 題型:選擇題

已知M是面積為1的△ABC內的一點,若△MBC,△MCA,△MAB的面積分別為,x,y,則的最小值為( )
A.20
B.18
C.16
D.9

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同步練習冊答案
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