Question

已知函數f（x）=e^xlnx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設x＞0，求證：f（x+1）＞e^2x-1；
（3）設n∈N^*，求證：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．

Answer 1

【答案】分析：由題意（1）有函數解析式可以先求出函數的定義域，再對函數求導，令導函數大于0解出函數的單調遞增區間，令導函數小于0解出函數的減區間；
（2）利用分析法分析出要證明的等價的不等式令，由，得出函數等價求解函數在定義域上的最小值即可求得；
（3）有（2）得，即，然后把x被k（k+1）代替，即可．
解答：解：（1）定義域為（0，+∞），由f′（x）=e^xlnx（lnx+1），
令．
故f（x）的增區間：，減區間：，
（2）即證：
令，由，
令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x）_min=g（2）=ln3-1，
故當x＞0時，有g（x）≥g（2）=ln3-1＞0得證，
（3）由（2）得，即，
所以，
則：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1=．
點評：此題考查了利用導數求函數的單調區間，還考查了分析法證明不不等式，還考查了不等式證明中的簡單放縮及求和時的裂項相消法．