Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-

π

12

，

25

36

π]上的最大值和最小值并指出此時相應(yīng)的x的值．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

=2

3

sin2(x+

π

4

)-cos2x-

3

=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
所以T=

2π

2

=π．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

(k∈Z)
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π，單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有f(x)=2sin(2x-

π

6

)．
因為x∈[-

π

12

，

25

36

π]，
所以2x-

π

6

∈[-

π

3

，

11

9

π]．
因為sin(-

π

3

)=sin

4

3

π＜sin

11

9

π，
所以當(dāng)x=-

π

12

時，函數(shù)f（x）取得最小值-

3

；
當(dāng)x=

π

3

時，函數(shù)f（x）取得最大值2．