Question

在下列函數中，
①y=|x+

1

x

|；
②y=

x2+2

x2+1

；
③y=log₂x+log_x2（x＞0，且x≠1）；
④0＜x＜

π

2

，y=tanx+cotx；
⑤y=3^x+3^-x；
⑥y=x+

4

x

-2；
⑦y=

x

+

4

x

-2；
⑧y=log₂x²+2；
其中最小值為2的函數是

①②④⑤⑦

（填入正確命題的序號）

Answer 1

分析：通過給變量取特殊值，舉反例可得③⑥不滿足條件；利用基本不等式可得①②④⑤⑦滿足條件．

解答：解：由基本不等式可得，當x=1 或x=-1時，y=|x+

1

x

|有最小值等于2，故①滿足條件．
y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，當且僅當x=0時，等號成立，故②滿足條件．
當x=

1

2

時，y=log₂x+log_x2=-1+（-1）=-2，故③不滿足條件．
由于 0＜x＜

π

2

時，tanx＞0，故 y=tanx+cotx≥2，故④滿足條件．
由基本不等式可得 y=3^x+3^-x≥2，當且僅當x=0時，等號成立，故⑤滿足條件．
當x＜0 時，y=x+

4

x

-2＜-2，故⑥不滿足條件．
由基本不等式可得y=

x

+

4

x

-2≥4-2，當且僅當x=4時，等號成立，故⑦滿足條件．
當x=

1

2

時，y=log₂x²+2=0，故⑧不滿足條件．
故答案為：①②④⑤⑦．

點評：本題主要考查基本不等式的應用，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗等號成立的條件．通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．