Question

拋物線：y²=2px（p＞0），傾斜角為45°的弦AB的中點為M
（1）若M=（m，2）求拋物線方程；
（2）若以AB為直徑的圓過原點，求實數(shù)M的橫坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出弦所在直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解；
（2）由以AB為直徑的圓過原點得到

OA

•

OB

=0，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算求得直線的截距，再由中點坐標(biāo)公式求得M的橫坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)弦所在直線方程為y=x+b，
聯(lián)立

y=x+b y2=2px

，得y²-2py+2pb=0，
∵M(jìn)（m，2）為弦的中點，
∴y₁+y₂=2p=4，p=2．
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，y₁+y₂=4，y₁y₂=4b，
則x1x2=(y1-b)(y2-b)=y1y2-b(y1+y2)+b2
=4b-4b+b²=b²．
∵以AB為直徑的圓過原點，
∴

OA

•

OB

=0，即x1x2+y1y2=b2+4b=0，
解得：b=0或b=-4，
m=

x1+x2

2

=

y1+y2

2

-b=2-b．
當(dāng)b=0時，m=2；
當(dāng)b=-4時，m=6．

點評：本題考查了拋物線方程的求法，考查了直線與拋物線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．