Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線y=k（x-1）經過橢圓C的一個焦點與其相交于點M，N，且點A(1，

3

2

)在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P，問：在x軸上是否存在一個定點Q，使得

|PQ|

|MN|

為定值？若存在，求出點Q的坐標和

|PQ|

|MN|

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）確定橢圓的焦點，利用點A(1，

3

2

)在橢圓C上，建立方程，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（II）直線y=k（x-1）與橢圓方程聯立，利用韋達定理，確定MN垂直平分線方程，|MN|，可得P的坐標，從而可得結論．

解答：解：（I）由題意，橢圓的一個焦點為（1，0），
又∵點A(1，

3

2

)在橢圓C上，
∴

a2-b2=1 1 a2 + 9 4 b2 =1

∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）存在，
直線y=k（x-1）與橢圓方程聯立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴y1+y2=

-6k

3+4k2

∴MN垂直平分線方程為y-

-3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)
令y=0，可得x=

7k2

3+4k2

∴P（

7k2

3+4k2

，0），
設Q（a，0），則|PQ|=|

7k2

3+4k2

-a|
∵|MN|=

1+k2

•|x1-x2|=

12(1+k2)

3+4k2

，
∴

|PQ|

|MN|

=

| 7k2 3+4k2 -a|

12(1+k2) 3+4k2

=

|7k2-a(3+4k2)|

12(1+k2)

∴a=7時，

|PQ|

|MN|

=

7

4

∴Q（7，0）．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．