Question

11．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2BC，求異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 連接A₁C₁，BC₁，則AD₁∥BC₁，故∠A₁BC₁是異面直線A₁B與AD₁所成的角或其補(bǔ)角．在△A₁BC₁中使用余弦定理求出cos∠A₁BC₁即可得出結(jié)論．

解答 解：連接A₁C₁，BC₁，則AD₁∥BC₁，
∴∠A₁BC₁是異面直線A₁B與AD₁所成的角或其補(bǔ)角．
設(shè)AB=BC=1，則AA₁=2，
∴A₁C₁=$\sqrt{2}$，A₁B=BC₁=$\sqrt{5}$，
在△A₁BC₁中，由余弦定理得：cos∠A₁BC₁=$\frac{5+5-2}{2\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$．
∴異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值為$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，屬于中檔題．