Question

數列{a_n}滿足：對任意的正整數m，n；s，t，若m+n=s+t，則，且．
（1）求證：；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）記c_n=a_2n-a_2n+1（n∈N*），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于，所以條件可化為．故可得證．
（2）將（1）式結論與條件相除得，令，則：b_mb_n=b_sb_t由于1+n=2+（n-1），從而有b₁b_n=b₂b_n-1，可證數列為等比數列，從而求出數列的通項公式；
（3）先證明，利用等比數列的求和公式求和，再進行放縮即可．
解答：證明：（1）由①，
得，
即②…（4分）
（2）由②÷①得：，
令，則：b_mb_n=b_sb_t由于1+n=2+（n-1），所以：b₁b_n=b₂b_n-1，所以：，即：b_n=-4b_n-1（n≥2），所以：b_n=b₁（-4）^n-1=，所以（n∈N*）…（8分）
（3）c_n=a_2n-a_2n+1==
所以…（12分）
點評：本題的關鍵是挖掘結論與條件之間的聯系，有一定的技巧性，綜合性強．