Question

若數列{a_n}滿足性質“對任意正整數n，

an+2+an

2

≤an+1都成立”，且a₁=1，a₂₀=58，則a₁₀的最小值為

28

．

Answer 1

分析：考察數列的關系，構造過點A₁A₂₀的直線，說明點在直線的上方，利用等差數列的關系求出a₁₀的最小值即可．

解答：解：記點A₁（1，1），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…，A₁₉（19，a₁₉），A₂₀（20，58），
則過點A₁A₂₀的直線l的方程為y=3x-2，可證明點A₂，A₃，…，A₁₉均不可能在直線l的右下方區域．
而當點A₂，A₃，…，A₁₉均在直線l上時，數列{a_n}構成等差數列，顯然有

an+2+an

2

=an+1，當然滿足

an+2+an

2

≤an+1，易得公差為3，a₁₀=28，由于點A₁₀不可能在直線l的右下方區域，所以a₁₀≥3×10-2=28，所以a₁₀的最小值為28．
故答案為：28．

點評：本題是中檔題，考查數列的特征，構造法的應用，注意數列與函數結合，轉化思想．