Question

已知數列{a_n}滿足a_n=.

（1）試比較a_n與a_n+1的大小.

（2）a_n=(n+1)()ⁿ，試判斷此數列的增減性和有界性.

（3）在(2)中有無最大項?若有，求出最大項和最大項項數；若沒有，說明理由.

Answer 1

思路分析：（2）因a_n是n的函數，難點在a_n是一個一次函數（n+1）與一個指數函數（）ⁿ的積，所以從一次函數或指數函數增減性看，一增一減積不確定，但n∈N^*，不妨試從比較a_n與a_n+1的大小著手.

解：（1）∵a_n=為單調遞增數列，

∴a_n+1＞a_n.

事實上,a_n+1-a_n=＞0.

 

（2）∵a_n+1-a_n=(n+2)()ⁿ⁺¹-(n+1)()ⁿ=()ⁿ·,

 

∴當n＜9時，a_n+1-a_n＞0， 即a_n+1＞a_n；

 

當n=9時，a_n+1-a_n=0，即a_n+1=a_n；

 

當n＞9時，a_n+1-a_n＜0,即a_n+1＜a_n.

 

∴a₁＜a₂＜a₃＜…＜a₉=a₁₀＞a₁₁＞a₁₂＞….

 

∴當1≤n≤9，n∈N時，{a_n}單調遞增，當n≥10時，{a_n}單調遞減，且|a_n|≤|a₉|=|a₁₀|=10·()⁹.

∴{a_n}有界.

（3）由{a_n}的單調性知數列{a_n}有最大項a₉或a₁₀，其值為10·（）⁹,其項數為第9項或第10項.