Question

在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：

（Ⅰ）點M的軌跡方程；      （Ⅱ）的最小值。

Answer 1

（Ⅰ） + =1 (x>1,y>2)；（Ⅱ）||的最小值為3.

解析:

（Ⅰ）橢圓方程可寫為: + =1   式中a>b>0 , 且  得a²=4,b²=1,所以曲線C 的方程為:  x²+ =1 (x>0,y>0).

 y=2(0<x<1) y '=－

設P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2,

 y '|_x=x0= － ,得切線AB的方程為: y=－ (x－x₀)+y₀ .

 設A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .

由= +得M的坐標為(x,y), 由x₀,y₀滿足C的方程,

得點M的軌跡方程為: + =1 (x>1,y>2)

 (Ⅱ)| |²= x²+y²,  y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9.且當x²－1= ,即x=>1時,上式取等號.

故||的最小值為3.