Question

定義在正實數集上的函數f（x）滿足下列條件：
①存在常數a（0＜a＜1），使得f（a）=1；②對任意實數m，當x∈R⁺時，有f（x^m）=mf（x）．
（1）求證：對于任意正數x，y，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）證明：f（x）在正實數集上單調遞減；
（3）若不等式f（log_a²（4-x）+2）-f（log_a（4-x）⁸）≤3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：∵x，y均為正數，且0＜a＜1，根據指數函數性質可知，總有實數m，n使得x=a^m，y=aⁿ，
于是f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a）=m+n，…（2分）
又f（x）+f（y）=f（a^m）+f（aⁿ）=mf（a）+nf（a）=m+n，∴f（xy）=f（x）+f（y）（5分）
（2）證明：任設x₁，x₂∈R⁺，x₁＞x₂，可令x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＜0）…（7分）
則由（1）知f（x₁）-f（x₂）=f（x₂t）-f（x₂）=f（x₂）+f（t）-f（x₂）=f（t）=f（a^α）=αf（a）=α＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．∴f（x）在正實數集上單調遞減；
（3）令log_a（4-x）=t，原不等式化為f（t²+2）-f（8t）≤3，其中t＞0．∵f（x）-f（y）=f（x）+f（y^-1）=且f（a）=1（0＜a＜1），
不等式可進一步化為，…．（12分）
又由于單調遞減，∴對于t＞0恒成立．…（13分）
而，
且當時．…..（16分）
∴，又0＜a＜1，終得．…..（18分）
分析：（1）分別取x=a^m，y=aⁿ，再結合已知條件中的等式，化簡可以得出f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）設兩個正數x₁，x₂，且x₁＞x₂，通過構造x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＞0），再用函數單調性的定義可以證出
f（x₁）-f（x₂）=αf（a）=α＜0，可得函數在在（0，+∞）上單調遞減；
（3）先利用（1）的結論，將不等式化為，再根據（2）利用函數單調增的性質，轉化為不等式，∴對于t＞0恒成立，實數a的范圍就不難得出了．
點評：本題以抽象函數為依托，考查利用函數單調性的定義解函數值不等式，屬于難題．解決抽象函數的問題一般應用賦值法，在解題過程中體現了轉化的思想，在轉化過程中還要注意函數的定義域．