Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線l交橢圓于點(diǎn)P、Q，則△F₁PQ內(nèi)切圓面積的最大值是（　　）

• A．

  25

  16

  π
• B．

  9

  25

  π
• C．

  16

  25

  π
• D．

  9

  16

  π

Answer 1

分析：因?yàn)槿�角形�?nèi)切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F₁PQ的周長是定值8，所以只需求出△F₁PQ面積的最大值．故可求△F₁PQ內(nèi)切圓面積的最大值．

解答：解：因?yàn)槿�角形�?nèi)切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△F₁PQ的周長是定值8，所以只需求出△F₁PQ面積的最大值．
設(shè)直線l方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

，
于是S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=12

m2+1 (3m2+4)2

．
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

m2+1

(3m2+4)2

=

1

9m2+15+ 1 m2+1

=

1

9m2+9+ 1 m2+1 +6

≤

1

16

，
∴S△F1PQ≤ 3
所以內(nèi)切圓半徑r=

2S△F1PQ

8

≤

3

4

，
因此其面積最大值是

9

16

π．
故選D．

點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查面積的最值，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求△F₁PQ面積的最大值．