Question

(本小題滿分13分) 已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表：

	甲	乙	丙
維生素A（單位/kg）	60	70	40
維生素B（單位/kg）	80	40	50
成本（元/kg）	11	9	4

    現分別用甲、乙、丙三種食物配成10kg混合食物，并使混合食物內至少含有560單位維生素A和630單位維生素B.

（Ⅰ）若混合食物中恰含580單位維生素A和660單位維生素B，求混合食物的成本為多少元?

（Ⅱ）分別用甲、乙、丙三種食物各多少kg，才能使混合食物的成本最低？最低成本為多少元？

Answer 1

（1）92（2）見解析

解析:

（Ⅰ）依題意得，即.         （2分）

由此解得x＝6，y＝z＝2.                                             （4分）

故混合食物的成本為6×11＋2×9＋2×4＝92(元).                         （5分）

（II）解法一：設分別用甲、乙、丙三種食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本為p元，則

，即.                               （7分）

且.                                            （8分）

作可行域，如圖.                                                              （10分）

 

由，得點A(5，2).

平移直線7x＋5y＝0，由圖知，當直線經過點A時，它在y軸上的截距為最大，所以點A為最優解，此時(元).                       （12分）

故用甲種食物5kg，乙種食物2kg，丙種食物3kg時，才能使混合食物的成本最低，其最低成本為85元.                                                         （13分）

解法二：設分別用甲、乙、丙三種食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本為p元，則

，即.                                 （7分）

且.                                 （8分）

因為，所以.  （10分）

當且僅當，即時等號成立，所以p的最小值為45.        （12分）

故用甲種食物5kg，乙種食物2kg，丙種食物3kg時，才能使混合食物的成本最低，其最低成本為85元.                                                                （13分）