Question

已知A，B，C均在橢圓M：

x2

a2

+y2=1(a＞1)上，直線AB、AC分別過橢圓的左右焦點F₁、F₂，當

AC

•

F1F2

=0時，有9

AF1

•

AF2

=

AF1

2．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設是橢圓M上的任一點，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任一條直徑，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據

AC

•

F1F2

=0判斷出

AC

⊥

F1F2

可知△AF₁F₂為直角三角形，進而可知|

AF1

|cos∠F1AF2=|

AF2

|進而根據9

AF1

•

AF2

=

AF1

2．求得|

AF1

|=3|

AF2

|，進而根據橢圓的定義聯立求得|

AF1

|和|

AF2

 |根據勾股定理建立等式求得a，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）根據題意通過E坐標求出F坐標，代入橢圓的方程，化簡

PE

•

PF

的表達式，利用P是橢圓上的任意一點縱坐標的范圍求出表達式的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為

AC

•

F1F2

=0，所以有

AC

⊥

F1F2

所以△AF₁F₂為直角三角形；
∴|

AF1

|cos∠F1AF2=|

AF2

|
則有9

AF1

•

AF2

=9|

AF1

||

AF2

|cos∠F1AF2=9|

AF2

|2=

AF1

2=|

AF1

|2
所以，|

AF1

|=3|

AF2

|
又|

AF1

|+|

AF2

|=2a，
∴|

AF1

|=

3a

2

，|

AF2

|=

a

2

在△AF₁F₂中有|

AF1

|2=|

AF2

|2+|

F1F 2

|2
即(

3a

2

)2=(

a

2

)2+4(a2-1)，解得a²=2
所求橢圓M方程為

x2

2

+y2=1

（Ⅱ）由題意可知N（0，2），E，F關于點N對稱，
設E（x₀，y₀），則F（-x₀，4-y₀）有x02+(y0-2)2=1，
∴

PE

•

PF

=x²-x₀²+4y₀-4y-y₀²+y²=x²+2y²-（x₀²+（y₀-2）²）-y²+4-4y=-（y+2）²+9
P是橢圓M上的任一點，y∈[-1，1]，
所以當y=-1時，

PE

•

PF

的最大值為8．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的問題，向量的基本計算．考查了學生分析問題和解決問題的能力．