Question

已知A，B，C均在橢圓上，直線AB、AC分別過橢圓的左右焦點(diǎn)F₁、F₂，當(dāng)時(shí)，有．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)是橢圓M上的任一點(diǎn)，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任一條直徑，求的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224599.png' />，所以有
所以△AF₁F₂為直角三角形；
∴
則有
所以，
又，
∴
在△AF₁F₂中有
即，解得a²=2
所求橢圓M方程為

（Ⅱ）由題意可知N（0，2），E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱，
設(shè)E（x₀，y₀），則F（-x₀，4-y₀）有，
∴=x²-x₀²+4y₀-4y-y₀²+y²=x²+2y²-（x₀²+（y₀-2）²）-y²+4-4y=-（y+2）²+9
P是橢圓M上的任一點(diǎn)，y∈[-1，1]，
所以當(dāng)y=-1時(shí)，的最大值為8．
分析：（Ⅰ）根據(jù)判斷出可知△AF₁F₂為直角三角形，進(jìn)而可知進(jìn)而根據(jù)．求得，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義聯(lián)立求得根據(jù)勾股定理建立等式求得a，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)題意通過E坐標(biāo)求出F坐標(biāo)，代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)的表達(dá)式，利用P是橢圓上的任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍求出表達(dá)式的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的問題，向量的基本計(jì)算．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．