Question

已知函數為奇函數，
1）求實數m的值；
2）求f（x）的反函數f^-1（x）；
3）若兩個函數F（x）與G（x）在[p，q]上恒滿足|F（x）-G（x）|＞2，則稱函數F（x）與G（x）在[p，q]上是分離的．試判斷函數f（x）的反函數f^-1（x）與g（x）=a^x在[1，2]上是否分離？若分離，求出a的取值范圍；若不分離，請說明理由．

Answer 1

解：1）f（x）為奇函數?f（x）+f（-x）=0?m=1
2）
∴（a^y-x）²=x²+1
即x=（）
∴，x∈R
3）
記
假設f^-1（x）與g（x）在[1，2]是分離的，，則h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即　h（a^x）_min＞2．
①當a＞1時，x∈[1，2]，a^x∈[a，a²]，h（a^x）在a^x∈[a，a²]上單調遞增，；
②當0＜a＜1時，x∈[1，2]，a^x∈[a²，a]，h（a^x）在a^x∈[a²，a]上單調遞減，；
故a的取值范圍是：．
分析：1）根據f（x）為奇函數可知f（x）+f（-x）=0，解之即可求出m的值；
2）先將x用y表示出來，然后將x與y進行互換，最后根據原函數與反函數的關系即可求反函數；
3）記，假設f^-1（x）與g（x）在[1，2]是分離的，，則h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，即h（a^x）_min＞2，然后根據函數的單調性求出h（a^x）的最小值即可．
點評：本題主要考查了對數函數圖象與性質的綜合應用，以及反函數的求解和新定義的理解，屬于中檔題．