Question

定義：如果數列{a_n}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{a_n}，如果函數y＝f(x)使得b_n＝f(a_n)仍為一個“三角形”數列，則稱y＝f(x)是數列{a_n}的“保三角形函數”，(n∈N^*)．

(1)已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，若f(x)＝k^x，(k＞1)是數列{a_n}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；

(2)已知數列{c_n}的首項為2010，S_n是數列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1－3S_n＝8040，證明{c_n}是“三角形”數列；

(3)若g(x)＝lgx是(2)中數列{c_n}的“保三角形函數”，問數列{c_n}最多有多少項．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)顯然，對任意正整數都成立，即是三角形數列． 　　因為k＞1，顯然有，由得，解得． 　　所以當時，是數列的“保三角形函數”． 　　(2)由得，兩式相減得 　　所以，，經檢驗，此通項公式滿足 　　顯然，因為， 　　所以是“三角形”數列． 　　(3)因為是單調遞減函數，所以，由得 　　 　　化簡得，解得，即數列最多有26項．