Question

如圖，在長方體OAEB-O₁A₁E₁B₁中，OA=3，OB=4，OO₁=2，點P在棱AA₁上，且AP=2PA₁，點S在棱BB₁上，且SB₁=2BS，點Q、R分別是O₁B₁、AE的中點，求證：PQ∥RS．

Answer 1

分析：根據條件中的長方體建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，再求得向量

PQ

，

RS

的坐標，利用向量平行的條件得出

PQ

∥

RS

，從而得出PQ∥RS．

解答：證明：如圖，建立空間直角坐標系，則A（3，0，0），B（0，4，0），O₁（0，0，2），
A₁（3，0，2），B₁（0，4，2），E（3，4，0），
∵AP=2PA₁，∴

AP

=2

PA1

=

2

3

AA1

，
即

AP

=

2

3

（0，0，2）=（0，0，

4

3

），∴P（3，0，

4

3

）
同理可得，Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，

2

3

），
∴

PQ

=（-3，2，

2

3

）=

RS

，
∴

PQ

∥

RS

，
∵R∉PQ，
∴PQ∥RS

點評：本題考查向量語言表述線線的垂直、平行關系．根據空間直角坐標系寫出點的坐標的問題，這種問題是為解決空間向量與立體幾何做準備，是一個基礎題，注意數字運算不要出錯．