Question

（1）(x

x

+

1

3 x

)n的展開式奇數項的二項式系數之和為128，求展開式中二項式系數最大項；
（2）求（1-x³）（1+x）¹⁰的展開式中x⁵的系數．

Answer 1

分析：（1）利用展開式的二項式系數性質列出方程求出n，利用二項展開式的二項式系數的性質中間項的二項式系數最大，再利用二項展開式的通項公式求出展開式中二項式系數最大項．
（2）先將多項式展開，分析可得（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中的x⁵的系數是（1+x）¹⁰的展開式中的x⁵的系數減去（1+x）¹⁰的x²的系數，利用二項式定理可得（1+x）¹⁰展開式的含x⁵的系數與含x²的系數，相減可得答案．

解答：解：（1）由已知得C_n¹+C_n³+C_n⁵+…=128，
∴2^n-1=128
∴n=8，
而展開式中二項式
系數最大項是T₅=

C

4 8

(x

x

)4(

1

3 x

)4=70x4

3	x2

．
（2）：（1-x³）（1+x）¹⁰=（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰
則（1-x³）（1+x）¹⁰展開式中的x⁵的系數是（1+x）¹⁰的展開式中的x⁵的系數減去（1+x）¹⁰的x²的系數，
由二項式定理，（1+x）¹⁰的展開式的通項為T_r+1=C₁₀^rx^r
令r=5，得（1+x）¹⁰展開式的含x⁵的系數為C₁₀⁵，
令r=2，得其展開式的含x²的系數為C₁₀²
則x⁵的系數是C₁₀⁵-C₁₀²=252-45=207

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題；本題考查二項式系數的性質．