Question

已知(x

x

+

1

3 x

)n的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和為37．
（1）求x的整數(shù)次冪的項；
（2）展開式中第幾項的二項式系數(shù)大于相鄰兩項的二項式系數(shù)，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）據(jù)前三項的二項式系數(shù)之和為37，求出n；再利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為整數(shù)得到x的整數(shù)次冪的項
（2）據(jù)二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大，再利用組合數(shù)公式證明．

解答：解：（1）(x

x

+

1

3 x

)n展開式的前三項的二項式系數(shù)之和為
C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
解得n=8
∴(x

x

+

1

3 x

)n=(x

x

+

1

3 x

)8的展開式的通項為
Tr+1=

C

r 8

 (x

x

)8-r(

1

3 x

)r=

C

r 8

x12-

11r

6

當r=0，6時，x的指數(shù)為整數(shù)
∴x的整數(shù)次冪的項有x¹²，28x
（2）展開式共有9項
據(jù)展開式中間項的二項式系數(shù)最大
故展開式第5項的二項式系數(shù)大于相鄰兩項的二項式系數(shù)
證明：∵展開式第5項的二項式系數(shù)為

C

4 8

=

8×7×6×5

1×2×3×4

=70
展開式第4項的二項式系數(shù)為C₈³
展開式第6項的二項式系數(shù)為C₈⁵
∵

C

5 8

=

C

3 8

=

8×7×6

1×2×3

=56＜70
故有展開式中第5項的二項式系數(shù)大于相鄰兩項的二項式系數(shù)．

點評：本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具；考查二項式系數(shù)的性質；考查組合數(shù)公式．