Question

（理科）有120粒試驗種子需要播種，現有兩種方案：方案一：將120粒種子分種在40個坑內，每坑3粒；方案二：將120粒種子分種在60個坑內，每坑2粒． 如果每粒種子發芽的概率為0.5，并且，若一個坑內至少有1粒種子發芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內的種子都沒發芽，則這個坑需要補種．假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需1元；假定每個成活的坑可收獲100粒試驗種子．
（1）用ξ表示補種費用，分別求出兩種方案的ξ的數學期望；
（2）用η表示收獲試驗種子粒數，分別求出兩種方案的η的數學期望；
（3）由此你能推斷出怎樣的結論？

Answer 1

分析：（1）方案一：由題意可得：ξ₁～B（40，

1

8

），根據二項分布的公式可得其期望，方案二：由題意可得：ξ₂～B（60，

1

4

），再根據二項分布的公式可得其期望．
（2）方案一：一個坑內種子成活的概率為

63

64

，方案二：一個坑內種子成活的概率為

15

16

，進而分布求出η的數學期望．
（3）方案一所需要的補種費用少，但是收益也較少；方案二所需要的補種費用較多，但是收益也較大．

解答：解：（1）方案一：一個坑內三粒種子都不發芽的概率為p₁=（0.5）³=

1

8

，由題意可得：ξ₁～B（40，

1

8

），
∴所求的數學期望為Eξ₁=40×

1

8

=5元；
方案二：一個坑內兩粒種子都不發芽的概率為p₂=（0.5）²=

1

4

，由題意可得：ξ₂～B（60，

1

4

），
∴所求的數學期望為Eξ₂=60×

1

4

=15元；
（2）方案一：一個坑內種子成活的概率為q₁=

7

8

+

1

8

×

7

8

=

63

64

，
∴所求的數學期望為Eη₁=100×40×

63

64

=3987.5粒；
方案二：一個坑內種子成活的概率為q₂=

3

4

+

1

4

×

3

4

=

15

16

，
∴所求的數學期望為Eη₂=100×60×

15

16

=5625粒．
（3）方案一所需要的補種費用少，但是收益也較少；方案二所需要的補種費用較多，但是收益也較大．

點評：本題主要考查二項分布，以及離散型隨機變量的期望，并且考查運用概率知識解決實際問題的能力，這也是高考命題的趨向，此題屬于中檔題．