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(理科)有120粒試驗種子需要播種,現有兩種方案:方案一:將120粒種子分種在40個坑內,每坑3粒;方案二:將120粒種子分種在60個坑內,每坑2粒. 如果每粒種子發芽的概率為0.5,并且,若一個坑內至少有1粒種子發芽,則這個坑不需要補種;若一個坑內的種子都沒發芽,則這個坑需要補種.假定每個坑至多補種一次,每補種1個坑需1元;假定每個成活的坑可收獲100粒試驗種子.
(1)用ξ表示補種費用,分別求出兩種方案的ξ的數學期望;
(2)用η表示收獲試驗種子粒數,分別求出兩種方案的η的數學期望;
(3)由此你能推斷出怎樣的結論?
分析:(1)方案一:由題意可得:ξ1~B(40,
1
8
),根據二項分布的公式可得其期望,方案二:由題意可得:ξ2~B(60,
1
4
),再根據二項分布的公式可得其期望.
(2)方案一:一個坑內種子成活的概率為
63
64
,方案二:一個坑內種子成活的概率為
15
16
,進而分布求出η的數學期望.
(3)方案一所需要的補種費用少,但是收益也較少;方案二所需要的補種費用較多,但是收益也較大.
解答:解:(1)方案一:一個坑內三粒種子都不發芽的概率為p1=(0.5)3=
1
8
,由題意可得:ξ1~B(40,
1
8
),
∴所求的數學期望為Eξ1=40×
1
8
=5元;
方案二:一個坑內兩粒種子都不發芽的概率為p2=(0.5)2=
1
4
,由題意可得:ξ2~B(60,
1
4
),
∴所求的數學期望為Eξ2=60×
1
4
=15元;
(2)方案一:一個坑內種子成活的概率為q1=
7
8
+
1
8
×
7
8
=
63
64
,
∴所求的數學期望為Eη1=100×40×
63
64
=3987.5粒;
方案二:一個坑內種子成活的概率為q2=
3
4
+
1
4
×
3
4
=
15
16
,
∴所求的數學期望為Eη2=100×60×
15
16
=5625粒.
(3)方案一所需要的補種費用少,但是收益也較少;方案二所需要的補種費用較多,但是收益也較大.
點評:本題主要考查二項分布,以及離散型隨機變量的期望,并且考查運用概率知識解決實際問題的能力,這也是高考命題的趨向,此題屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(1)用ξ表示補種費用,分別求出兩種方案的ξ的數學期望;
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(1)用ξ表示補種費用,分別求出兩種方案的ξ的數學期望;
(2)用η表示收獲試驗種子粒數,分別求出兩種方案的η的數學期望;
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