Question

（理科）有120粒試驗種子需要播種，現(xiàn)有兩種方案：方案一：將120粒種子分種在40個坑內(nèi)，每坑3粒；方案二：將120粒種子分種在60個坑內(nèi)，每坑2粒． 如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，并且，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種．假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需1元；假定每個成活的坑可收獲100粒試驗種子．
（1）用ξ表示補種費用，分別求出兩種方案的ξ的數(shù)學(xué)期望；
（2）用η表示收獲試驗種子粒數(shù)，分別求出兩種方案的η的數(shù)學(xué)期望；
（3）由此你能推斷出怎樣的結(jié)論？

Answer 1

解：（1）方案一：一個坑內(nèi)三粒種子都不發(fā)芽的概率為p₁=（0.5）³=，由題意可得：ξ₁～B（40，），
∴所求的數(shù)學(xué)期望為Eξ₁=40×=5元；
方案二：一個坑內(nèi)兩粒種子都不發(fā)芽的概率為p₂=（0.5）²=，由題意可得：ξ₂～B（60，），
∴所求的數(shù)學(xué)期望為Eξ₂=60×=15元；
（2）方案一：一個坑內(nèi)種子成活的概率為q₁=+×=，
∴所求的數(shù)學(xué)期望為Eη₁=100×40×=3987.5粒；
方案二：一個坑內(nèi)種子成活的概率為q₂=+×=，
∴所求的數(shù)學(xué)期望為Eη₂=100×60×=5625粒．
（3）方案一所需要的補種費用少，但是收益也較少；方案二所需要的補種費用較多，但是收益也較大．
分析：（1）方案一：由題意可得：ξ₁～B（40，），根據(jù)二項分布的公式可得其期望，方案二：由題意可得：ξ₂～B（60，），再根據(jù)二項分布的公式可得其期望．
（2）方案一：一個坑內(nèi)種子成活的概率為，方案二：一個坑內(nèi)種子成活的概率為，進(jìn)而分布求出η的數(shù)學(xué)期望．
（3）方案一所需要的補種費用少，但是收益也較少；方案二所需要的補種費用較多，但是收益也較大．
點評：本題主要考查二項分布，以及離散型隨機變量的期望，并且考查運用概率知識解決實際問題的能力，這也是高考命題的趨向，此題屬于中檔題．