Question

已知x=1是函數的一個極值點．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若直線y=n與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求n的取值范圍；
（Ⅲ）設g（x）=（-5-a）lnx++（6-b）x+2（a＞0），G（x）=f（x）+g（x），若G（x）=0有兩個不同零點x₁，x₂，且，試探究G′（x）值的符號．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數f′（x），令f′（1）=0即可求得m值；
（Ⅱ）利用導數可求得函數f（x）的單調區間，由單調區間可得函數極大值、極小值，結合圖象n大于極小值小于極小值，從而得到n的范圍；
（Ⅲ）化簡G（x），則G（x₁）=0，G（x₂）=0，兩式相減并變形可得，于是G′（x）可用x₁，x₂表示，構造關于t=的函數，按0＜x₁＜x₂，0＜x₂＜x₁兩種情況進行討論可判斷G′（x）的符號；
解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）x-6+，
所以f′（1）=1-6+m=0，解得m=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x＞0），
所以f′（x）=x-6+=，
當x∈（1，5）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（5，+∞）或x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
所以f（x）的極大值為f（1）==-，
極小值為f（5）==-+5ln5，
又x→0時，f（x）→-∞，x→+∞時，f（x）→+∞，
結合圖象可知：當且僅當f（5）＜n＜f（1）時，直線y=n與函數y=f（x）的圖象有3個交點，
∴-+5ln5＜n＜-；
（III）G′（x）的符號為正．證明如下：
因為G（x）=f（x）+g（x）=+（-5-a）lnx++（6-b）x+2=x²+2-alnx-bx有兩個零點x₁，x₂，
所以有，
兩式相減得-b（x₂-x₁）=0，即，
于是-b=
=-=[ln-]=[ln]，
①，令=t，則t＞1，且G′（x）=（lnt-）．
設u（t）=lnt-（t＞1），
則u′（t）==＞0，
則u（t）=lnt-在（1，+∞）上為增函數．
而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt-＞0．
又因為a＞0，x₂-x₁＞0，所以G′（x）＞0．
②當0＜x₂＜x₁時，同理可得：G′（x）＞0．
綜上所述：G′（x）的符號為正．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值、函數的零點等知識，考查分類討論思想、數形結合思想及函數與方程思想，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大．