Question

（2012•東城區一模）已知x=1是函數f（x）=（ax-2）e^x的一個極值點．（a∈R）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當x₁，x₂∈[0，2]時，證明：f（x₁）-f（x₂）≤e．

Answer 1

分析：（I）先求出函數f（x）的導函數，然后根據在極值點處的導數等于0，建立等式關系，求出a即可；
（II）確定函數f（x）在區間[0，2]上的最大值與最小值，從而f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x），由此可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：已知f′（x）=（ax+a-2）e^x，f'（1）=0，∴a=1．
當a=1時，f′（x）=（x-1）e^x，在x=1處取得極小值．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x-2）e^x，f′（x）=（x-1）e^x．
當x∈[0，1]時，f′（x）=（x-1）e^x≤0，∴f（x）在區間[0，1]單調遞減；
當x∈（1，2]時，f′（x）=（x-2）e^x＞0，∴f（x）在區間（1，2]單調遞增．
所以在區間[0，2]上，f（x）的最小值為f（1）=-e，又f（0）=-2，f（2）=0，
所以在區間[0，2]上，f（x）的最大值為f（2）=0．
對于x₁，x₂∈[0，2]，有f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x）．
所以f（x₁）-f（x₂）≤0-（-e）=e．

點評：本題綜合考查函數的極值以及利用導數研究函數的單調性，同時考查函數的最值的求解，是一道綜合題．