Question

（12分）設函數ƒ（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1為ƒ（x）的極值點.

（1）求a和b的值

（2）討論ƒ（x）的單調性；

（3）設g（x）=x³-x²,試比較ƒ（x）與g（x）的大小.

Answer 1

解:(1)因為ƒ′(x)=e^x-1（2x+x²）+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），

又x=-2和x=1為ƒ（x）的極值點，所以ƒ′（-2）= ƒ′（1）=0，

因此-6a+2b=0，

3+3a+2b=0，

解得方程組得a=-,b=-1.

（2）因為a=-，b=-1

所以ƒ′(x)=x（x+2）（e^x-1-1），令ƒ′(x)=0，解得x₁=-2，x₂=0，x_3­=1.

因為當x∈（-∞,-2）∪（0，1）時，ƒ′(x)<0;

當x∈（-2,0）∪（1，+∞）時，ƒ′(x)>0.

所以ƒ（x）在（-2,0）和（1，+∞）上是單調遞增的；在（-∞，-2）和（0,1）上是單調遞減的.

（3）由（1）可知ƒ（x）=x²e^x-1-x³-x²,

故ƒ（x）-g（x）= x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），

令h(x)= e^x-1-x,則h＇（x）= e^x-1-1.

令h＇（x）=0，得x=1，

因為x∈（-∞，1）時, h＇（x）<0

所以h(x)在x∈（-∞，1]上單調遞減.

故x∈（-∞，1 ]時，h(x) ≥h(1)=0.

因為x∈(1，+∞）時，h＇（x）>0,

所以h（x）在x∈[1，+∞﹚上單調遞增。

故x∈[1，+∞）時，h(x) ≥h(1)=0.

所以對任意x∈（-∞，+∞），恒有h(x)≥0，又x²≥0，

因此ƒ（x）-g（x）≥0，

故對任意x∈（-∞，+∞），恒有ƒ（x）≥g（x）.