Question

10．定義在R上的函數g（x）及二次函數h（x）滿足：g（x）+2g（-x）=e^x+$\frac{2}{e^x}$-9，h（-2）=h（0）=1，且h（-3）=-2．
（1）求g（x）和h（x）的解析式；
（2）對于x₁，x₂∈[-1，1]，均有h（x₁）+ax₁+5≥g（x₂）-x₂g（x₂）成立，求a的取值范圍；
（3）設f（x）=$\left\{\begin{array}{l}g（x），（x＞0）\\ h（x），（x≤0）\end{array}$，在（2）的條件下，討論方程f[f（x）]=a+5的解的個數情況．

Answer 1

分析 （1）通過-x代替x，推出方程，求解函數g（x）的解析式．利用h（x）是二次函數，且h（-2）=h（0）=1，可設h（x）=ax（x+2）+1，然后求解即可．
（2）設ϕ（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，F（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，轉化條件為當-1≤x≤1時，ϕ（x）_min≥F（x）_max，通過函數的導數求解函數的最值，列出關系式即可求出實數a的取值范圍．
（3）設t=a+5，由（2）知，畫出函數在2≤t≤12f（x）的圖象，設f（x）=T，則f（T）=t當t=2，當2＜t＜e²-3，當t=e²-3，當e²-3＜t≤12，分別判斷函數的圖象交點個數，得到結論．

解答 解：（1）∵$g（x）+2g（-x）={e^x}+\frac{2}{e^x}-9$，①$g（-x）+2g（x）={e^{-x}}+\frac{2}{{{e^{-x}}}}-9$，即$g（-x）+2g（x）=2{e^x}+\frac{1}{e^x}-9$，②
由①②聯立解得：g（x）=e^x-3．…（2分）
∵h（x）是二次函數，且h（-2）=h（0）=1，可設h（x）=ax（x+2）+1，
由h（-3）=-2，解得a=-1．
∴h（x）=-x（x+2）+1=-x²-2x+1
∴g（x）=e^x-3，h（x）=-x²-2x+1．…（4分）
（2）設ϕ（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，F（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，
依題意知：當-1≤x≤1時，ϕ（x）_min≥F（x）_max
∵F'（x）=-e^x+（1-x）（e^x-3）+3=-xe^x+3，在[-1，1]上單調遞減，
∴F'（x）_min=F'（1）=3-e＞0…（6分）
∴F（x）在[-1，1]上單調遞增，∴F（x）_max=F（1）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}ϕ（{-1}）=7-a≥0\\ ϕ（1）=a+3≥0\end{array}\right.$，解得：-3≤a≤7
∴實數a的取值范圍為[-3，7]．…（8分）
（3）設t=a+5，由（Ⅱ）知，2≤t≤12f（x）的圖象如圖所示：
設f（x）=T，則f（T）=t
當t=2，即a=-3時，T₁=-1，T₂=ln5，f（x）=-1有兩個  解，f（x）=ln5有3個解；
當2＜t＜e²-3，即-3＜a＜e²-8時，T=ln（t+3）且ln5＜T＜2，f（x）=T有3個解；
當t=e²-3，即a=e²-8時，T=2，f（x）=T有2個解；
當e²-3＜t≤12，即e²-8＜a≤7時，T=ln（t+3）＞2，f（x）=T有1個解．
綜上所述：
當a=-3時，方程有5個解；
當-3＜a＜e²-8時，方程有3個解．…（12分）

點評 本題考查函數恒成立，二次函數的性質，函數的導數的綜合應用，函數的圖象以及函數的零點個數的求法，考查分類討論思想數形結合思想以及轉化思想的應用．