Question

為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟．

Answer 1

分析：方案一：選擇在三角形AMN中，所以要用正弦定理求得AM，AN，再用余弦定理求解．
方案二：選擇在三角形BMN中，所以要用正弦定理求得BM，BN，再用余弦定理求解．

解答：方案一：①需要測量的數據有：A點到M、N點的俯角α₁、β₁；B點到M、N點的俯角α₂、β₂；A、B的距離d，如圖所示：

②第一步：計算AM．由正弦定理AM=

dsinα2

sin(α1+α2)

第二步：計算AN．由正弦定理AN=

dsinβ2

sin(β2-β1)

第三步：計算MN．由余弦定理MN=

AM2+AN2-2AM•ANcos(α1-β1)

方案二：①需要測量的數據有：A點到M、N點的俯角 α₁、β₁；B點到M、N點的俯角 α₂、β₂；A、B的距離d（如圖所示）．
②第一步：計算BM．由正弦定理BM=

dsinα1

sin(α1+α2)

第二步：計算BN．由正弦定理BN=

dsinβ1

sin(β2-β1)

第三步：計算MN．由余弦定理MN=

BM2+BN2+2BM•BNcos(α2+β2)

點評：本題主要考查解三角形問題，主要涉及了正弦定理和余弦定理的應用．