Question

已知(

1

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)2x-x2≤3x-2，求函數y=（log₂x+1）（log₂x-2）的最大值和最小值并求出取得最值時對應的x值．

Answer 1

分析：解指數不等式求得 1≤x≤2，令t=log₂x，則0≤t≤1，函數y=（t+1）（t-2），利用二次函數的性質求得函數y的最大值和最小值并求出取得最值時對應的x值．

解答：解：由已知(

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3

)2x-x2≤3x-2，可得 3x2-2x≤3x-2，故 x²-2x≤x-2，解得 1≤x≤2．
令t=log₂x，則0≤t≤1，函數y=（log₂x+1）（log₂x-2）=（t+1）（t-2），
故當 t=

1

2

時，即x=

2

時，函數y取得最小值為-

9

4

，
當t=0或1時，即x=1或2時，函數y取得最大值為-2．

點評：本題主要考查指數不等式、一元二次不等式的解法，二次函數的性質的應用，屬于中檔題．