Question

已知三次函數f（x）的導函數為f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．
（Ⅰ）求f（x）-f（0）的表達式；
（Ⅱ）若對任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f'（x）成立，求f（0）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先用待定系數法設出函數f（x）的解析式，然后求導數，將x=1，2，3代入可求出函數f（x）的解析式進而可得答案．
（2）先求函數f（x）的導函數f'（x），然后表示表示出f（x）＞f′（x）的不等關系，表示出f（0），轉化為求f（0）＞-x³+6x²-9x+3在[-1，4]的恒成立問題．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f′（x）=3ax²+2bx+c．
∴

3a+2b+c=0 12a+4b+c=3 27a+6b+c=12

即

a=1 b=-3 c=3

．
∴f（x）-f（0）=x³-3x²+3x．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6x+3，∵對任意的x∈[-1，4]，f（x）＞f′（x）成立
∴f（x）-f′（x）=x³-6x²+9x+f（0）-3＞0．
∴f（0）＞-x³+6x²-9x+3
設F（x）=-x³+6x²-9x+3，則F′（x）=-3x²+12x-9．
令F′（x）=0得x=1或x=3，∴x=1和x=3是函數的極值點．
又F（-1）＞F（3），F（-1＞F（1），F（-1）＞F（4）
∴F（x）在[-1，4]上的最大值為F（-1）=19．f（0）的取值范圍是（19，+∞）．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數解析式的方法和利用導數求函數在閉區間上的最值的問題，屬中檔題．