Question

已知函數f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-2cos2x，x∈[-

π

6

，

π

2

]
（1）化簡函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的最大值及相應的自變量x的取值．

Answer 1

分析：（1）把函數解析式的第一、二項利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，第三項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數即可；
（2）由x的范圍，求出（1）中化簡后解析式中正弦函數角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質求出正弦函數的值域，即可得到函數f（x）的最大值及此時自變量x的取值．

解答：解：（1）f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-cos2x-1
=

3

sin2x-cos2x-1=2sin(2x-

π

6

)-1；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-1，1]，
則當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，函數f（x）有最大值1．

點評：此題考查了三角函數的化簡求值，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，正弦函數的定義域及值域，以及特殊角的三角函數值，其中利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．