Question

如圖，O是半徑為2的球的球心，點A．B．C在球面上，OA．OB．OC兩兩垂直，E．F分別是大圓的弧AB與AC的中點．

(1)求證：EF∥面OBC；

(2)求多面體OAEBCF的體積；

(3)建立適當的空間直角坐標系，求的坐標，并求異面直線OF和CE的夾角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)過E作EG⊥AO于G，連結FG，則FG⊥AO，所以EG∥BO；FG∥CO，

　　又EG∩FG＝G，∴面EFG∥面BCO，∵EF面EFG，∴EF∥面OBC．　　4分

　　(2)易求得

　　設CF的延長線交OA的延長線于P，BE的延長線交OA的延長線于Q

　　由對稱性知P，Q重合，即多面體EFG－BCO是臺體，　　6分

　　，則多面體OAEBCF的體積是

　　　　8分

　　(3)分別以OB．OC．OA為軸建立空間直角坐標系，則

　　∴　　10分

　　∴

　　∴異面直線OF和CE的夾角的余弦值為　　12分