Question

【題目】已知定義域為的函數的圖象為曲線，曲線在點的切線為（其中）．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）證明：（i）；

（ii）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（）證明見解析，（ii）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義可寫出曲線在處的切線方程，進而求得實數的值；

（Ⅱ）（i）令，對求導，利用導數求函數的單調性，即可得證；

（ii）當時，證明，構造，求導得到單調區間，計算最值得證，即，聯合（i）中結論得到答案.

（Ⅰ），于是，

所以曲線在處的切線方程為，

整理得，所以可得．

（Ⅱ）證明：（）令，則，

易知當時，單調遞增；當時，單調遞減，

所以，所以．

（ii）由（Ⅰ）可知，令，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，所以在上單調遞增，

所以．

因為過點，且在處的切線方程為，

故可猜測：

當時，的圖象恒在切線的上方．

下證：當時，．

設，則，

令，則，/p>

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

又，所以，

所以存在，使得，

所以當時，；當時，，

故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

又，所以，當且僅當時取等號，

故．

又由（i）可得，即，當且僅當時，等號成立．