Question

【題目】已知函數f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．
（Ⅰ）當a=7時，求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設知：|x﹣1|+|x+2|＞7，

令x﹣1=0，x+2=0，解得x=1，x=﹣2，這就是兩個分界點．把全體實數分成3個區間．

不等式的解集是以下不等式組解集的并集：

，或 ，或

解得函數f（x）的定義域為（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞）；

（Ⅱ）不等式f（x）≥3即：|x﹣1|+|x+2|≥a+8，

∵x∈R時，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，

∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，

∴a的取值范圍是：（﹣∞，﹣5]．

【解析】（1）根據零點分界討論，脫掉絕對值，解出函數的定義域，（2）不等式f（x）≥3即：|x﹣1|+|x+2|≥a+8，根據絕對值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，解出a的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數的定義域及其求法的相關知識點，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零才能正確解答此題．