Question

已知定點A（4，0）到等軸雙曲線x²-y²=a²（a＞0）上的點的最近距離為

5

，求此雙曲線的方程，并求此雙曲線上到點A的距離為

5

的點的坐標．

Answer 1

分析：設點P（x，y）是雙曲線x²-y²=a²上任意一點，表示出雙曲線上到點A的距離，配方，分類討論，可求雙曲線的方程．

解答：解：設點P（x，y）是雙曲線x²-y²=a²上任意一點，
則|AP|²=（x-4）²+y²=（x-4）²+（x²-a²）=2（x-2）²+8-a²
∵|x|≥a，
∴（1）當0＜a≤2時，
在x=2時，|AP

|

2 min

=8-a2=5，
∴a2=3，a=

3

，
此時雙曲線方程為x²-y²=3，
雙曲線上離A距離為

5

的點為（2，1）或（2，-1）
（2）當a＞2時，在x=a時，|AP

|

2 min

=2(a-2)2+8-a2=5，
∴a=4+

5

．
此時雙曲線方程為x2-y2=21+8

5

，
雙曲線上離A距離為

5

的點的坐標為(4+

5

，0)．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．