Question

已知圓C的方程為x²+y²=4，動點P滿足：過點P作直線與圓C相交所得的所有弦中，弦長最小的為2，記所有滿足條件的點P形成的幾何圖形為曲線M．
（1）寫出曲線M所對應的方程；（不需要解答過程）
（2）過點S（0，2）的直線l與圓C交于A，B兩點，與曲線M交于E，F兩點，若AB=2EF，求直線l的方程；
（3）設點T（x₀，y₀）．
①當y₀=0時，若過點T存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點，求實數x₀的取值范圍；
②若過點T存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點，試探求實數x₀，y₀應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由于過點P作直線與圓C相交所得的所有弦中，弦長最小的為2，所以滿足條件的點P形成的幾何圖形是以O為圓心，

3

為半徑的圓，從而可求曲線M所對應的方程；
（2）分類討論：當斜率不存在時，結論不成立；當斜率存在時，假設直線方程為y=kx+2，利用圓心到直線的距離，結合AB=2EF，可求直線l的方程；
（3）①假設存在，要使存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點，則由圓心到直線的距離小于半徑，故可建立不等關系，從而可求；②根據①的探究方法，結合圖形，可得結論．

解答：解：（1）由題意，∵過點P作直線與圓C相交所得的所有弦中，弦長最小的為2，
∴滿足條件的點P形成的幾何圖形是以O為圓心，

3

為半徑的圓
∴曲線M所對應的方程為：x²+y²=3
（2）當斜率不存在時，結論不成立
當斜率存在時，假設直線方程為y=kx+2，圓心到直線的距離為

2

k2+1

由題意AB=2EF，∴4-

4

k2+1

=4×(3-

4

k2+1

)，
∴k=±

2

2

∴直線l的方程為y=±

2

2

x+2；
（3）①不妨假設一條直線方程為y=k（x-x₀）（k＞0），則另一條直線方程為y=-

1

k

(x-x0)
要使存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點，則由圓心到直線的距離小于半徑
∴-2

k2+1 k2

＜x0＜2

k2+1 k2

，-2

k2+1

＜x0＜2

k2+1

∴-2＜x₀＜2
②不妨假設一條直線方程為y-y₀=k（x-x₀）（k＞0），則另一條直線方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)
要使存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點，則由圓心到直線的距離小于半徑
由①探求可知，點T必須在圓的內部，此時才能始終存在一對互相垂直的直線同時與圓C有兩個公共點
∴x₀²+y₀²＜4

點評：本題的考點是直線與圓的方程的應用，主要考查求解直線與圓的方程，解題時應主要分類討論，否則會漏解．