Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2=2px（p＞0）上一點P（ ，m）到準線的距離與到原點O的距離相等，拋物線的焦點為F．
（1）求拋物線的方程；
（2）若A為拋物線上一點（異于原點O），點A處的切線交x軸于點B，過A作準線的垂線，垂足為點E．試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F（ ，0），準線方程為x=﹣ ，

由題意點 到準線的距離為|PO|，

由拋物線的定義，可得點P到準線的距離為|PF|，

即有|PO|=|PF|，即點 在線段OF的中垂線上，

則 = ，解得p=3，則拋物線的方程為y2=6x

（2）解：四邊形AEBF為菱形．

證明：拋物線y2=6x的焦點為F（ ，0），準線方程為x=﹣ ，

由拋物線的對稱性，設點 在x軸的上方，

由y2=6x，兩邊對x求導可得，2yy′=6，即y′= ，

可得點A處的切線的斜率為 ，

則點A處切線的方程為 ，

令上式中y=0，得 ，

可得點B的坐標為 ，又 ，

所以 ，

所以 ，所以FA∥BE，又AE∥FB，

故四邊形AEBF為平行四邊形，

再由拋物線的定義，得AF=AE，

所以四邊形AEBF為菱形．

【解析】（1）求得拋物線的焦點坐標和準線方程，運用拋物線的定義可得點 在線段OF的中垂線上，可得p=3，進而得到拋物線的方程；（2）四邊形AEBF為菱形．由拋物線的對稱性，設點 在x軸的上方，求出拋物線的切線的斜率和切線的方程，令y=0，求得B的坐標，E，F的坐標，由向量相等即可得到四邊形的形狀．