Question

定義區間（m，n），[m，n]，[m，n），（m，n]的長度均為n-m，其中n＞m，已知關于x的不等式組的解集構成的各區間的長度和為5，則實數t的取值范圍是（ ）
A．（0，1]
B．[1，+∞）
C．（0，5]
D．[5，+∞）

Answer 1

【答案】分析：先解關于x的不等式組，解出兩個不等式的解集，求兩個不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，5），不等式組的解集的各區間長度和為5，寫出不等式組進行討論，得到結果．
解答：解：先解不等式，整理得，即（x+1）•（x-5）＜0，
所以不等式 的解集A=（-1，5）
設不等式log₂x+log₂（tx+t）＜log₂30 的解集為B，則不等式組的解集為A∩B．
不等式log₂x+log₂（tx+t）＜log₂30  等價于 ．
又A∩B⊆（0，5），不等式組的解集的各區間長度和為6，所以不等式組 ，當x∈（0，5）時，恒成立．   
當x∈（0，5）時，不等式tx+t＞0恒成立，得t＞0．①（13分）
當x∈（0，5）時，不等式tx²+tx-30＜0恒成立，即  恒成立．    
而當x∈（0，5）時，的取值范圍為 （1，+∞），所以實數 t≤1，②
綜合①②可得，t的取值范圍為 （0，1]，
故選A．
點評：本題考查一個新定義問題，即區間的長度，本題解題的關鍵是對于條件中所給的三種不同的題目進行整理變化，注意恒成立問題，這是高考題目中必出的．