Question

若定義在R上的奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當0＜x≤1時，f（x）=log₃x，則方程f（x）+4=f（0）在區間（0，10）內的所有實根之和為

1. A.
   28
2. B.
   30
3. C.
   32
4. D.
   34

Answer 1

B
分析：可根據定義在R上的奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱?f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1時，f（x）=log₃x，數形結合，可求得方程f（x）+4=f（0）在區間（0，10）內的所有實根之和．
解答：∵函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數，故f（0）=0，
∵f（x）+4=f（0），
∴f（x）=-4+f（0）=-4，
∵0＜x≤1時，f（x）=log₃x≤0，
∴f（x）=-4在（0，1）內有一實根x₁，又函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=-4在（1，2）有一個實根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期為4，
∴f（x）在（4，5），（5，6）上各有一個實根x₃、x₄，x₃+x₄=10；在（8，9），（9，10）各有一個實根x₅，x₆，x₅+x₆=18；
∴原方程在區間（0，10）內的所有實根之和為30．
故選B．
點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷及奇偶函數圖象的對稱性，關鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結合“0＜x≤1時，f（x）=log₃x”與奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，數形結合予以解決，屬于中檔題．