Question

下列幾個命題：①直線y=x與函數y=sinx的圖象有3個不同的交點；②函數y=tanx在定義域內是單調遞增函數；③函數y=2^x-x²與y=(

1

2

)x-x2的圖象關于y軸對稱；④若函數y=lg（x²+2x+m）的值域為R，則實數m的取值范圍為（-∞，1]；⑤若定義在R上的奇函數f（x）對任意x都有f（x）=f（2-x），則函數f（x）為周期函數．其中正確的命題為

 

（請將你認為正確的所有命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①令f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0，因此函數f（x）在R上單調遞增，又f（0）=0，可得當x≠0時，f（x）≠0，因此直線y=x與函數y=sinx的圖象只有1個交點．
②函數y=tanx在區間(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)(k∈Z)上單調遞增，而在定義域內不是單調遞增函數；
③函數f（x）=2^x-x²與f（-x）=

1

2x

-x2，可得f（x）≠f（-x），圖象關于y軸不對稱；
④若函數y=lg（x²+2x+m）的值域為R，則實數m的取值范圍為（-∞，1]；
⑤若定義在R上的奇函數f（x）對任意x都有f（x）=f（2-x），則函數f（x）關于直線x=1對稱，是周期函數．

解答：解：①令f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0，因此函數f（x）在R上單調遞增，又f（0）=0，
∴當x≠0時，f（x）≠0，因此直線y=x與函數y=sinx的圖象只有1個交點，因此不正確．
②函數y=tanx在區間(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)(k∈Z)上單調遞增，而在定義域內不是單調遞增函數，故不正確；
③函數f（x）=2^x-x²與f（-x）=

1

2x

-x2的圖象關于y軸不對稱；
④若函數y=lg（x²+2x+m）的值域為R，則實數m的取值范圍為（-∞，1]；
⑤若定義在R上的奇函數f（x）對任意x都有f（x）=f（2-x），則函數f（x）關于直線x=1對稱，是周期函數．
其中正確的命題為 ③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點評：本題綜合考查了函數的圖象與性質，屬于難題．