Question

已知中心在原點的橢圓C的兩個焦點和橢圓C₁:4x²+9y²=36的兩個焦點是一個正方形的四個頂點，且橢圓C過點A(2,-3).

（1）求橢圓C的方程；

（2）若PQ是橢圓C的弦，O是坐標原點，OP⊥OQ,且點P的坐標為（,2），求點Q的坐標.

Answer 1

解:(1)橢圓C₁:+=1的兩焦點(-,0)與(5,0),又與C的兩個焦點F₁、F₂是正方形的四個頂點.C的中心在原點,故F₁與F₂關于原點對稱.

∴F₁(0,-),F₂(0,).設C:=1(a＞b＞0),

由解得或(舍去).∴C方程是=1.

(2)設Q(x₀,y₀),由于OP⊥OQ,∴K_OP·K_OQ=·=-1.∴y₀=x₀.又=1,

∴3x₀²+2()²=30.解得x₀²=9,即x₀=±3.則或

故Q(3,)或(-3,).