Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B，則實數k的取值范圍為（　�。�

• A．-2＜k＜-

  2

• B．-2＜k＜2
• C．k²＜4且k²≠2
• D．-2＜k＜0且k≠-

  2

Answer 1

分析：將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，由題意知

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 - 2k k2-2 ＞0 2 k2-2 ＞0.

，由此能求出實數k的取值范圍．

解答：解：將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，
整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，
設兩個交點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵（x₁，y₁），（x₂，y₂）都在雙曲線C的右支，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴x1+x2=-

2k

k2-2

＞0，
x1x2=

2

k2-2

＞0，
故

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 - 2k k2-2 ＞0 2 k2-2 ＞0.

解得k的取值范圍是-2＜k＜-

2

．
故選A．

點評：本題主要考查直線、雙曲線的方程和性質，曲線與方程的關系，及其綜合應用能力，是基礎題．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．