Question

（1）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6．求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B．求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6，根據橢圓的定義，可得方程，從而可求橢圓C的方程；
（2）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1，利用直線l與雙曲線C右支交于不同兩點，可得不等式，即可求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6，
∴2a=6，

c

a

=

6

3

，解得a=3，c=

6

，
∴b²=a²-c²=3
故橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

3

=1；
（2）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．
依題意，直線l與雙曲線C右支交于不同兩點，則
k²-2≠0，△=（2k）²-8（k²-2）＞0，-

2k

k2-2

＞0，

2

k2-2

＞0
解得k的取值范圍為-2＜k＜-

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．