Question

（2013•豐臺區一模）如圖，已知直線PD切⊙O于點D，直線PO交⊙O于點E，F．若PF=2+

3

，PD=1，則⊙O的半徑為

3

；∠EFD=

15°

．

Answer 1

分析：由切割線定理得PD²=PE•PF，代入題中數據解出PE=2-

3

．根據圓心0在直線PEF上，算出直徑EF=PF-PE=2

3

，可得半徑r=

3

．由△EDP∽△DFP算出

DE

DF

=

DP

DF

=2-

3

，再在Rt△DEF中利用正切的定義算出tan∠EFD=

DE

DF

=2-

3

，從而得到∠EFD的大小．

解答：解：∵線PD切⊙O于點D，PO交⊙O于點E，F．
∴PD²=PE•PF，可得1²=PE×（2+

3

），解之得PE=

1

2+ 3

=2-

3

由此可得EF=PF-PE=2+

3

-（2-

3

）=2

3

∵O是圓心，EF經過點O，∴直徑EF=2

3

，可得⊙O的半徑為r=

3

∵∠EDP=∠DFP，∠P是公共角，∴△EDP∽△DFP，可得

DE

DF

=

DP

DF

=2-

3

∵EF是⊙O直徑，∴DE⊥DF
因此，Rt△DEF中，tan∠DFP=

DE

DF

=2-

3

結合∠DFP是銳角，得∠DFP=15°，即∠EFD=15°
故答案為：

3

，15°

點評：本題給出圓的切線長和經過圓心的割線長，求圓的半徑并求∠EFD的大小．著重考查了切割線定理、相似三角形的判定與性質和直角三角形中三角函數的定義等知識，屬于中檔題．