Question

已知函數，為實數）有極值，且在處的切線與直線平行.
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得函數的極小值為1，若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設函數試判斷函數在上的符號,并證明:
（）．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） （Ⅲ）見解析.

試題分析：（Ⅰ）由已知在處的切線與直線平行，得且有兩個不等實根，從而得出的范圍；（Ⅱ）先由導函數得出函數的單調性，確定函數的極小值點，然后由函數的極小值為1得出存在的值；（Ⅲ）先確定的單調性，在上是增函數，故，構造，分別取的值為1、2、3、 、累加即可得證.
試題解析：（Ⅰ）
  由題意
          ①        （1分）

    ②
由①、②可得，
故實數a的取值范圍是         （3分）
（Ⅱ）存在               （5分）
由（1）可知，
，且

	+	0	－	0	+
	單調增	極大值	單調減	極小值	單調增

，
.                  （6分）
             （7分）   

的極小值為1.           （8分）   
（Ⅲ）由

即
故，
則在上是增函數，故，
所以，在上恒為正。.           （10分）
（注：只判斷符號，未說明理由的，酌情給分）
當時，，設，則


即：.           （12分）   
上式分別取的值為1、2、3、 、累加得：

，（）
，（）
，（）
，（）
即，，（），當時也成立    （14分）