Question

命題p：已知橢圓，F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為M，則OM的長為定值．類比此命題，在雙曲線中也有命題q：已知雙曲線，F₁，F₂是雙曲線的兩個焦點，P為雙曲線上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的    的垂線，垂足為M，則OM的長為定值．

Answer 1

【答案】分析：根據橢圓中的結論，利用角平分線的性質與橢圓的定義，可類比雙曲線中的相應結論．
解答：解：點F₂關于∠F₁PF₂的外角平分線PM的對稱點Q在F₁P的延長線上
∵F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一個動點，過F₂作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為M
∴|F₁Q|=|PF₁|+|PF₂|=2a（橢圓長軸長），又OM是△F₂F₁Q的中位線，故|OM|=a；
不妨設點P在雙曲線右支上，點F₁關于∠F₁PF₂的內角平分線PM的對稱點Q在PF₂的延長線上
當過F₂作∠F₁PF₂的內角平分線的垂線，垂足為M時，|F₂Q|=|PF₁|-|PF₂|=2a，又OM是△F₂F₁Q的中位線，故|OM|=a；
故答案為：內角平分線
點評：本題考查類比推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．