Question

 已知橢圓的中心在原點，準線方程為x=±4，如果直線：3x-2y=0與橢圓的交點在x軸上的射影恰為橢圓的焦點．

  (1)求橢圓方程；

  (2)設直線與橢圓的一個交點為P，F是橢圓的一個焦點，試探究以PF為直徑的圓與橢圓長軸為直徑的圓的位置關系；

  (3)把(2)的情況作一推廣：寫出命題（不要求證明）．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)設橢圓方程為 (a>b>0)

          直線3x-2y=0與橢圓的一個交點的坐標是，代入橢圓方程得：

            又   a²=b²+c²

          ∴ a=2     C=1

          ∴                ………………5分

 

        (2)由(1)知，直線與橢圓的一個交點為，F(1,0)，則從PF為直徑的圓的方程，圓心為，半徑為

          以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，圓心(0，0)，半徑為2

          兩圓圓心之間距離為

          ∴ 兩圓內切               ………………8分

         P、F為其它三種情況時，兩圓都為內切     ………………10分

       (3)如果橢圓的方程是 (a>b>0)，P是橢圓上的任意一點，F是橢圓的一個焦點，則以PF長為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓是內切關系。                    …………13分

        （如P寫成橢圓上的定點，此問只給1分）