Question

【題目】△ABC的內角A. B. C的對邊分別為a，b，c，己知＝b（c－asinC）。

（1)求角A的大小；

(2）設b=c，N是△ABC所在平面上一點，且與A點分別位于直線BC的兩側，如圖，若BN=4，CN=2，求四邊形ABNC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

（1）由條件可得ccosA=c-asinC．由正弦定理得sinA+cosA=1．化簡得sin(A+)=，解得A即可.

（2）由余弦定理得BC2=16+4-16cosN =20-16cosN，再結合條件得到四邊形面積S=S△ABC+S△BCN，求得最值.

（1）∵ ，∴ cbcosA=b(c-asinC)，即ccosA=c-asinC．

由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC，∵ sinC0，

∴ cosA=1-sinA，即sinA+cosA=1．∴ sinA+cosA=，即sin(A+)=．

∵ 0<A<,∴ ．∴ A+=，即A=．

（2）在△BCN中，由余弦定理得BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN，∵ BN=4，CN=2，

∴ BC2=16+4-16cosN =20-16cosN．

由（1）和b=c，得△ABC是等腰直角三角形，于是AB=AC=BC，

∴ 四邊形ABCD的面積S=S△ABC+S△BCN=

= =

==． ∴ 當N=時，S取最大值，

即四邊形ABCD的面積的最大值是．